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🏆 Threes! AI: deck-aware expectimax, N-tuple TD learning, and AlphaZero

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최종 버전 다운로드 (.zip)

// repository documentation

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🤖 AI for the Threes! game. 🎮 
<img src="https://visitor-badge.laobi.icu/badge?page_id=halfrost.threes-ai">

Web Live Demo 地址在 [这里](https://threes.halfrost.com)

# 灵感来源

1 个月前和另外二位小伙伴一起参加了一个 AI 的比赛。虽然比赛结果不理想，至少我享受到了编程过程中的乐趣。从这次比赛中让我认识到 Go 除了写服务端，写游戏模拟器，写 AI 都是拿手好戏。最近微信跳一跳的辅助，冲顶大会的辅助基本也都是 Go 写的。于是我更坐不住了，也写一个来纪念我们那次比赛。

由于本人也是客户端出身，所以这个 AI 必须也能在手机上刷分。所以要找一个手机游戏，三个人可以玩的，或者名字带“三”字的，由此：

> Threes preson join one AI competition  ---> Threes-AI

# “炫耀”分数

目前这个 Go 版本的 AI 在 3 个地方跑了分，都分别跑了 200 盘。拿到高分的比例差不多就 20% 左右。所以也希望能在项目第二阶段——机器学习阶段，能把跑高分的比率提高到 100%

## 1. play threes game 官方网站

这个网站就是官方游戏的 web 版了。

这个高分视频在这里，[腾讯视频链接](https://v.qq.com/x/page/w0559rco3qz.html)

## 2. threes Android 客户端

这里之所以没有跑 iOS 客户端的游戏截图，是因为 iOS 客户端需要越狱才能运行，笔者手头上的机器都在 iOS 11.2+，等以后越狱了可以再重新来跑跑分。

## 3. threes game 自建网站

为了能自己通过机器学习训练模型，也为了能公开展示这个 AI 的实力，于是按照官方的游戏规则，原汁原味的复刻了一个 web 版。

这个高分视频在这里，[腾讯视频链接](https://v.qq.com/x/page/e0559nle7dh.html)

(上面这个视频有人问怎么感觉是快放了的，其实没有，因为旁边时间可以看出来是标准的。那为什么会很快，当前线上的版本是加了 400 ms 移动动画的，我在本地训练的过程中，去掉了 400 ms 的动画时间，动画时间没有必要，所以上述视频会显得很快，其实 AI 是同一个)

在网络上流程着这样一个“谣传”：当合成出 12288 砖块的时候，即 2个 6144 砖块合并，游戏就会结束，开始播放游戏制作人的名单。在这个网站上并没有这个规则，能合成出多高的砖块都可以。分数没有上线，这样也可以充分检验 AI 的智慧。

当然针对官方的前 2 个游戏地址，笔者还真的没有合成出一次 12288 砖块，所以也无法验证“谣传”的真伪。100% 合成出 12288 砖块，也是本 AI 的目标。**暂时还没有达到目标**。

# 运行方法

## 1. threes game 自建网站

### Docker

```go

// 先把 go 服务端跑起来，端口是 9000
docker container run --rm -p 9000:9000 -it halfrost/threes-ai:go-0.0.1 &

// 再把 web 前端跑起来，http://127.0.0.1:9888
docker container run --rm -p 9888:9888 -it halfrost/threes-ai:web-0.0.1 &

```

### Local

本地构建就稍微麻烦一点，也分两步进行，先构建 go server，再构建 web。

先构建 go server：

```go

// 回到项目主目录
cd threes-ai
go run main.go

```

上述命令会构建出 go server ，服务器会监听 9000 端口发来的信息。

再构建 web ：

由于项目是基于 meteor 的，所以请先配置好 meteor 的本地环境，安装 meteor [手册链接](https://www.meteor.com/install)

```go

// 进入 threes! web 主目录
cd threes-ai/threes!
meteor

```

上述命令会把 web 跑在 http://localhost:3000 上。

到这里本地就已经跑起来了。

再谈谈本地如何打包 docker 镜像。

先打包 go server，由于 docker 内部是 linux 的，所以在打包的时候要注意交叉编译，否则最终的 docker 无法执行。具体打包步骤请见 Dockerfile\_go 这个文件里面的步骤了。

```go

docker image build -t threes_go:0.0.1 .
docker container run --rm -p 9000:9000 -it threes_go:0.0.1

```

再打包 web：

```go

cd threes-ai/threes!
meteor build ./dist

```

上述命令执行结束，会在当前目录下生成 dist 文件夹，并且里面会包含 `threes!.tar.gz` 压缩包。解压这个压缩包，会得到一个 bundle 文件，这个文件就是我们需要部署的。

此时也可以在本地把这个生产环境的 web 跑起来。使用如下命令：

```go

cd dist/bundle
ROOT_URL=http://127.0.0.1 PORT=9888 node main.js

```

这时候 web 也会被跑在 http://127.0.0.1:9888 上。注意这里 node 的版本必须是 8.9.4 。node 的版本要求是 meteor 版本要求的。meteor 1.6 就是对应的 node 8.9.4 。笔者也在 .nvmrc 文件中限制了 node 版本信息。言归正传，再回到打包 web docker 镜像的问题上来。

之后打包成 docker 镜像的步骤就请看 Dockerfile\_web 这个文件里面的步骤了。

```go

docker image build -t threes_web:0.0.1 .
docker container run --rm -p 9888:9888 -it threes_web:0.0.1

```

先跑 go server 的 docker 镜像，再把 web 的 docker 镜像跑起来，即可。

## 2. play threes game 官方网站

第一步需要先把 go 的程序打包成一个动态库，方便 python 调用。

```go

go build -buildmode=c-shared -o threes.so main.go

```

上述命令把 go 打包成了 threes.so 动态库。

接下来需要利用 chrome 的 remote debug 模式，建立一个 ws 连接。`threes_ai_web.py` 干的事情就是把 web 上的棋盘数字信息传递给 go，go 函数处理完成以后返回下一步要移动的方向。最后通过 ws 返回到 web 页面，模拟移动。

```go

sudo /Applications/Google\ Chrome.app/Contents/MacOS/Google\ Chrome --remote-debugging-port=9162

python threes_ai_web.py -b chrome -p 9162

```

有时候不加 sudo 命令的话，可能出现一些异常，比如 GPU 分配失败。

```go

已在现有的浏览器会话中创建新的窗口。
[29819:45571:0225/225036.004108:ERROR:browser_gpu_channel_host_factory.cc(121)] Failed to launch GPU process.

```

遇到上面的错误，把 Chrome 完全退出，再执行 `--remote-debugging-port=9162` 即可。一般会建立新的 websocket 连接，例如：

```go

DevTools listening on ws://127.0.0.1:9162/devtools/browser/86c6deb3-3fc1-4833-98ab-0177ec50f1fa

```

`threes_ai_web.py` 这个脚本还有些问题，有时候出错会导致 ws 连接中断。这个稍后改完再放出来。

## 3. FAQ

### 1. halfrost/threes-ai:web-0.0.1 这个镜像有 0.0.2 版本，为何上述命令中用的是 0.0.1 版本？

这个问题牵扯到部署服务器的问题了。在当前源代码中，`threes-ai/threes!/client/js/game.js` 中 367 行，0.0.1 版本这里端口写的是 9000，而 0.0.2 版本这里写的是 8999 。

为何两个版本就这里端口号的差别呢？因为 ssl 的原因。部署到服务器上是 https，所以 ws 就变成了 wss 连接。而跑在本地无所谓，反正是 localhost 或者 127.0.0.1 ，都是 http 的。由于服务器端需要加 ssl，所以需要用 nginx 加一层反向代理，来支持 wss。nginx 监听 web server 8999 端口，加上 ssl 以后转发到 go server 9000 端口。这样就完成了 web 和 go 的 wss 交互。本地运行的话就不用这么麻烦，直接都是 9000 端口即可，web server 通过 9000 端口直接连接 go server 的 9000 端口，进行 ws 通信。

### 2. 服务器部署过程中，出现了 `WebSocket connection to 'wss://XXXX' failed: Error in connection establishment: net::ERR_CONNECTION_REFUSED` 的错误，怎么解决？

一般出现上面 CONNECTION_REFUSED 的错误，可能有以下 3 个原因：

- 1、可能是服务器 iptables 屏蔽了端口
- 2、可能是 ip 或者端口出错或者不支持协议
- 3、服务端没启动

笔者在部署的时候就出现了上述的问题，先通过 iptables 检测，发现没有问题。第二种可能就是不支持 wss 了，通过 openssl 命令检测端口：

```go

openssl s_client [-connect host:port>] [-verify depth] [-cert filename] [-key filename] 
 [-CApath directory] [-CAfile filename][-reconnect] [-pause] [-showcerts] [-debug] [-msg] 
 [-nbio_test] [-state] [-nbio] [-crlf] [-ign_eof] [-quiet]

```

通过检测发现端口没有支持 ssl，于是加一层 nginx 代理下 ssl 就解决了上述问题。

# 游戏分析

Threes 的难点在于，这是一个**必输**的游戏。当游戏到了后半段，合成出了 6144 之后，很大一部分时间这个砖块所在的位置就不能动了，相当于 4 * 4 = 16 个格子，减去一个给它。场地上的砖块到后期也无法一下子合并，所以预留的空间很少，常常因为周转不开或者连续来 1 或者连续来 2，无法合成 3 ，活活被“挤死”了。

网页版设计过程中，并没有向客户端那样考虑“跳级”的模式，即出现的砖块能出现 3 的倍数的，比如出现 3，6，12，24，96，192，384…… 这些大额的砖块。所以网页版的游戏过程可能会比客户端上的简单一点。

为何说会简单一点？因为虽然不会出大的砖块（大砖块分值高），玩的时间会比较长，但是这样存活率也稍微高一点。如果连续的来，96，384，768，都来单个的，这样会导致棋盘上一下子出来很多不能合成的砖块，虽然分数会一下子暴涨，但是也会因为无法被合并，导致无法移动，迅速结束游戏。

在客户端上就存在“跳级”的设定，就可能一段时间就会出现这些砖块。我在测试 AI 的时候也发现了这个问题，被连续来单个的 1 或者连续的来单个的 2 逼死的几率不大，倒是被高分大砖块逼死的情况很多，这样导致存活时间不长，分数也没有网页版的高。

关于游戏布局，确实是有技巧可言。

游戏的布局是以单调性为最优布局，见下面两张图：

可以看到，这两张图的布局是最好的，因为相邻的砖块通过合成以后可以继续合成更高一级的，这样合成速度也最快。能达到最快消除棋盘上的砖块。如果没有按照类似这种单调性来布局的话，那么常常最后都是因为自己布局混乱，导致一些砖块无法合成，最终被自己活活的“逼死”了。

# 算法思想

本 repo 是用 Expectimax Search 实现的，当然这个问题还有其他的解法，这里也稍微提及一下算法思想，对应的是算法二和算法三，但是不用代码实现了。

## 一. Expectimax Search Trees 最大期望搜索树

在日常生活中，有些情况下，我们经过深思熟虑也不能判断这个抉择会导致什么样的结果？是好还是坏？

- 1. 摸扑克牌的时候，永远不知道下一张摸到的会是什么牌，拿到这张未知的牌会对牌局产生什么样的影响？
- 2. 扫雷游戏，每次随时点击一个方格，有可能是雷，也有可能是数字，雷的随机位置会直接影响该回合是否直接游戏结束。
- 3. 吃豆人游戏，幽灵的位置随机出现，直接导致接下来的路线规划。
- 4. Threes！游戏中，1 和 2 的方块随机出现，将会影响我们该怎么移动方块。

以上这些情况都可以用 Expectimax Search Trees 最大期望搜索树去解决这个问题。这类问题都是想求一个最大值（分数）。主要思想如下：

最大值节点和 minimax search 极大极小值搜索一样，作为整棵树的根节点。中间插入“机会”节点 Chance nodes，和最小节点一样，但是要除去结果不确定的节点。最后利用加权平均的方式求出最大期望即最终结果。

**这类问题也可以被归结为 Markov Decision Processes 马尔科夫决策过程，根据当前棋面状态，确定下一步动作。**

### 1. Expectimax 最大期望值的一些特性

其他的节点也并非是敌对的节点，它们也不受我们控制。原因就是因为它们的未知性。我们并不知道这些节点会导致发生什么。

每个状态也同样具有最大期望值。也不能一味的选择最大期望值 expectimax，因为它不是 100% 安全的，它有可能导致我们整个树“松动”。

机会节点是由加权平均值概率管理的，而不是一味的选择最小值。

### 2. 关于剪枝

**在 expectimax 中不存在剪枝的概念**。

首先，对手是不存在“最佳游戏”的概念，因为对手的行为是随机的，也是未知的。所以不管目前期望值是多少，未来随机出现的情况都可能把当前的情况推翻。也由于这个原因，寻找 expectimax 是缓慢的（不过有加速的策略）。

### 3. 概率函数

在 Expectimax Search 期望最大值搜索中，我们有一个在任何状态下对手行为的概率模型。这个模型可以是简单的均匀分布（例如掷骰子），模型也可能是复杂的，需要经过大量计算才能得到一个概率。

最不确定的因素就是对手的行为或者随机的环境变换。假设针对这些状态，我们都能有一个“神奇的”函数能产生对应的概率。概率会影响到最终的期望值。函数的期望值是其平均值，由输入的概率加权分布。

举个例子：计算去机场的时间。行李的重量会影响到行车时间。

```

L（无）= 20，L（轻）= 30，L（重）= 60

```

三种情况下，概率分布为：

```

P（T）= {none：0.25，light：0.5，heavy：0.25}

```

那么预计驾车时间记为

```

E [L（T）] =  L（无）* P（无）+ L（轻）* P（轻）+ L（重）* P (重)
E [L（T）] =  20 * 0.25）+（30 * 0.5）+（60 * 0.25）= 35

```

### 4. 数学理论

在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。

### 5. 具体

下面来谈谈具体的思路。

从上面两张图可以看出，针对每种情况，都可以出现 4 种操作，每种操作都会出现新的砖块，新的砖块出现的位置都是一个稳定的概率。针对每一种情况都进行期望值的计算。于是就会出现上述的树状的结构了。

举个更加详尽的例子，如下图，假设当前的棋盘情况如下：

下一个砖块是 2 。那么会出现在哪里呢？总共有 16 种情况。

如果进行向上移动 UP 的操作，2 砖块出现的位置会有 4 种。
如果进行向下移动 DOWN 的操作，2 砖块出现的位置会有 4 种。
如果进行向左移动 LEFT 的操作，2 砖块出现的位置会有 4 种。
如果进行向右移动 RIGHT 的操作，2 砖块出现的位置会有 4 种。

得到这 16 种情况以后，接着继续往下递归。递归公式如下：

上面公式就是不断进行期望值的计算。

但是递归不能无限的递归，递归需要临界条件。我这里设置的收敛条件是当概率小于某个值的时候就算递归结束了。这个值具体是多少可以根据递归的层次去选一个合适的值。

递归收敛以后，就开始计算本次的期望，这个期望值是由权重矩阵和棋盘矩阵相乘得到的值。权重矩阵里面的值也是需要自己调整的，调整的不好会导致递归层次很多，影响效率；递归层次太少，又会影响期望结果计算的准确性。这个权重矩阵的“调教”也许可以交给机器学习的无监督学习去做。

上述公式就是递归收敛条件下的期望值计算公式。

通过上述期望值递归计算以后，可以回归到初始状态。那么怎么决定究竟是往哪个方向移动呢？

和上面举的去机场的例子一样，计算好各条路线的期望值。这里计算好最大期望值以后，再求一个均值就好了，值最大的就是下一步需要移动的方向。

不过在实际递归过程是会出现下面这种情况：

大面积的空白区域，这样需要递归的次数会很多，间接的导致计算量变的很大，AI 思考一次的时间变长了。解决这个问题的办法就是限制递归深度。

利用样本方差来评估均值：

S 越大表示样本和均值差异越大，越分散。间接的通过它来限制一下递归深度。

> Reference:
> 
> \[1\]:[ExpectimaxSearch](https://web.uvic.ca/~maryam/AISpring94/Slides/06_ExpectimaxSearch.pdf)
>
> \[2\]:[What is the optimal algorithm for the game 2048?](https://stackoverflow.com/questions/22342854/what-is-the-optimal-algorithm-for-the-game-2048/22498940#22498940)
> 
> \[3\]:[2048 AI – The Intelligent Bot](https://codemyroad.wordpress.com/2014/05/14/2048-ai-the-intelligent-bot/)

## 二. Minimax search 极小极大值搜索

冯·诺依曼于 1928 年提出的极小化极大理论（minimax）为之后的对抗性树搜索方法铺平了道路，而这些在计算机科学和人工智能刚刚成立的时候就成为了决策理论的根基。

详情见下面这个 repo :

[https://github.com/rianhunter/threes-solver](https://github.com/rianhunter/threes-solver)

## 三. Monte Carlo tree search 蒙特卡洛树搜索

蒙特卡洛方法通过随机采样解决问题，随后在 20 世纪 40 年代，被作为了一种解决模糊定义问题而不适合直接树搜索的方法。Rémi Coulomb 于 2006 年将这两种方法结合，来提供一种新的方法作为围棋中的移动规划，如今称为蒙特卡洛树搜索（MCTS）。理论上 MCTS 可以应用于任何能够以 {状态，动作} 形式描述，通过模拟来预测结果的领域。

蒙特卡罗 是一种基于平均样本回报来解决增强学习问题的方法。AlphaGo 利用 蒙特卡洛树搜索 快速评估棋面位置价值的。我们同样可以用这种方法来评估 Threes 当前移动的拿到最高分的概率。

围棋棋盘横竖各有 19 条线，共有 361个 落子点，双方交替落子，这意味着围棋总共可能有 10^171(1后面有171个零) 种可能性。这超过了宇宙中的原子总数是 10^80(1后面80个零)！

而传统AI一般采用的是暴力搜索方法（深蓝就是这样干的），就所有可能存在的下法构建一个树。由于状态空间巨大，想通过暴力枚举的方法枚举所有的状态是不可能的。

蒙特卡罗树搜索大概可以被分成四步。选择(Selection)，拓展(Expansion)，模拟(Simulation)，反向传播(Backpropagation)。

在开始阶段，搜索树只有一个节点，也就是我们需要决策的局面。搜索树中的每一个节点包含了三个基本信息：代表的局面，被访问的次数，累计评分。

选择：从根 R 开始，并选择连续的子节点到叶节点L.下面的部分更多地介绍了选择子节点的方法，让游戏树扩展到最有希望的移动，这是蒙特卡罗树搜索的本质。

扩张：除非L以任何一方的双赢结束游戏，否则创建一个（或多个）子节点并从其中选择一个节点 C.

模拟：从节点 C 播放随机播放。此步骤有时也称为 playout 或 rollout。

反向传播：使用 playout 的结果更新从 C 到 R 路径上的节点中的信息.

该图显示了一个决定所涉及的步骤，每个节点显示从该点所代表的玩家的角度来看该玩家获胜/玩的次数。所以，在选择图中，黑色即将移动。 11/21 是从这个位置到目前为止 playouts 的白棋总数。它反映了在它下面的三个黑色节点所显示的总共 10/21 个黑棋胜利，每个黑色胜利表示可能的黑色移动。

当白色模拟失败时，沿着选择的所有节点增加了他们的模拟计数（分母），但是其中只有黑色节点被记入胜利（分子）。如果取而代之的是白方，那么所选的所有节点仍然会增加他们的模拟计数，但是其中只有白方节点会获胜。这就保证了在选择过程中，每个玩家的选择都会扩展到该玩家最有希望的移动反映每个玩家的目标，以最大化他们的行动的价值。

只要分配给移动的时间保持不变，就会重复搜索。然后选择最多的模拟（即最高的分母）作为最终答案。

从这里我们可以看出 蒙特卡洛树搜索 一种启发式的搜索策略，它利用了频率去估算了概率，当样本的频率采集足够多的时候，频率近似于概率。就相当于我们随机抛硬币，只要抛的次数足够多，那么，正面朝上的频率会无限接近于 0.5。

> Reference:
>
> \[1\]:Browne C B, Powley E, Whitehouse D, et al. A Survey of Monte Carlo Tree Search Methods[J]. IEEE Transactions on Computational Intelligence & Ai in Games, 2012, 4:1(1):1-43.
>
> \[2\]:P. Auer, N. Cesa-Bianchi, and P. Fischer, “Finite-time Analysis  of the Multiarmed Bandit Problem,” Mach. Learn., vol. 47, no. 2,  pp. 235–256, 2002.

# To-Do

本来以为这个项目就这样终结了，结果近几天阿里发布了 “黄皮书” 以后，突然觉得有了新的思路，我决定继续用增强学习来完成第二版的。希望更加智能的 AI 能 100% 完成 12288 的最高成就。等训练完成以后，我会回来继续完成接下来的文章。

# ♥️ Thanks

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