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# ベクトル・複素数・クオータニオン

本稿ではクォータニオン（四元数，しげんすう）について解説する．ただし，解説といってもクォータニオンとはなかなか味わい深い数であるので，いろいろな数の物語を通じてクォータニオンに到達しようという趣向である．

本稿は例えば3次元コンピュータグラフィックス(CG)に関わっている人で，クォータニオンが使えるけれどもよくわからないという人（つまりは昔の筆者）を対象にしたつもりであるが，本稿を読むにあたってコンピュータグラフィックスの知識は全く必要ない．

また本稿では，クォータニオンの他にベクトルや複素数の本当の意味も解説する．なぜならクォータニオンとは『ベクトルをたっぷりふりかけ，複素数にどっぷり漬け込み，反エルミート行列でこんがりと焼き上げた』数だからである．これらの事柄は全部本稿で説明した．

一方，本稿では次のことを（クォータニオン理解の基礎ではあるが）説明しなかった．
* 数学基礎論
* 線形代数の基礎
* 2次元の回転行列
* 複素代数の基礎
* オイラーの定理の証明
* 数学記号の由来，読み方
これらの事柄（大学1年生程度）は別の教科書を参考にされたい．

本稿は次のような構成になっている．
1. まず2種類の代数方程式を解いてみる．すると，実行列と複素数がそれぞれ登場する．
1. 物理学（といっても力学の初歩）の立場から，2次元のベクトルという考え方を導入する．また2次元のベクトルを回転させてみる．
1. 少しばかり寄り道をしてブラとフォームが何かを知り，ベクトルの本当の姿をみる．
1. 複素数を使うと，2次元の位置（ベクトル）と回転（行列）が同格になることをみる．
1. オイラー角による3次元のベクトルの回転を考えてみる．
1. 複素行列を使うと，3次元の位置（ベクトル）と回転（行列）がやはり同格になることをみる．
1. もうひとつの3次元回転，クォータニオンに触れる．

最後に余談としてスピノールという考え方にも触れる．

ところで，本文中にも触れるが，本稿では次の新しい記号を発明する．

```
[[a,b]]=a+ib
```

ここで`a`と`b`は実数であり`i`は虚数単位である．この記号``[[a,b]]``は実数部`a`と虚数部`b`を持つ複素数を作る記号である．

ではさっそくテーブルについて，クォータニオンを賞味しよう．

[ベクトル・複素数・クオータニオン](https://github.com/kanaya/vector-complex-quaternion/blob/main/kanaya-handai-quaternion.pdf)

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