Logicky-magnum-opus-naucny

KO | EN

gitlite — search

#ai #typescript #llm #android #machine-learning #deep-learning #docker #macos #nodejs #java #windows #kubernetes #awesome-list #openai

Logicky-magnum-opus-naucny

(★ 12)

Logika - teorie a zpracované otázky

Logicky-magnum-opus-naucny 최신버젼 다운로드

최종 버전 다운로드 (.zip)

// repository documentation

Was this content helpful?

★ 0 (0 ratings)

# Předmluva
Tento dokument je výcuc z prezentací pana M, které jsou vlastně výcucem ze skript. Ostatní pomocné dokumenty byly moc špatné, tak jsem se rozhodl udělat vlastní.

# Značení
číslo) Kapitola 
písmenko) Podkapitola 
🔴 Nejasnosti a hnusy (hlavně u otázek) 
🔵 Přímo věci ze zkoušek 
🟣 Jazyk logiky 
💚 Správná odpověď (otázky) 
💥 Špatná odpověď (otázky)

[Link / skok rovnou k otázkám](#otázky-vysvětlení-k-individuálním-odpovědím-v-závorce-špatné-odpovědi-mohou-chybět-ale-nejdůležitější-jsou-stejně-odpovědi-správné-)

Spolu související části z kapitol budou zlinkovány. :)

## 1) Základy
### a) Co je vlastně logika?
Logika je věda o správném usuzování. Je to nástroj, který ověřuje platnost argumentů.

**Úsudek / argument / výrok:** na základě předpokladů / premis můžeme usoudit, zda je závěr pravdivý. Závěr je nutně pravdivý, když jsou všechny premisy pravdivé.

Zabýváme se deduktivně platnými úsudky. Logické vyplývání závěru:
$P_1...P_n\models Z$

### b) Logické vyplyvání, tedy, pravda / nepravda
Závěr bude logicky vyplývat, pokud v úsudku nikdy nebudou pravdivé všechny předpoklady a zároveň nepravdivý závěr = správná logická forma. Pro správnou logickou formu taktéž potřebujeme, aby všechny nutné předpoklady byly uvedené:

🔵
Předpoklad: Číslo 7 je prvočíslo 
◻️◻️◻️ 
Závěr: Číslo 7 je dělitelné 1 a samo sebou 
(mimochodem, takto budou dál zobrazovány úsudky, jen bez označení předpokladů a závěrů) 
*Logika je jako AI, odvozuje si skutečnosti jen z toho, co ví. Logika nebere v úvahu souvislost, mezi "být prvočíslem" a "být dělitelný 1 a sám sebou". Musí se ji vše strčit "pod nos".*

$P_1...P_n\models Z$ 
(pokud toto má pravdivé premisy a nepravidvý závěr, tak jde o spor)

🔵 **Reflexivita:** Pokud je jeden z předpokladů závěrem, tak závěr logicky vyplývá.

Ve výrokové logice (VL), formule (složený výrok, např. "A") výrokově logicky vyplývá z množiny formulí "M" (značíme: $M\models A$), jestliže A je pravdivá v každém modelu množiny M (jednička na konci řádku v pravdivostní tabulce, tedy pravda). 
Při všech ohodnoceních, kdy jsou pravdivé předpoklady, je pravdivý i závěr. Tedy, závěr je pravdivý ve všech modelech předpokladů.

Logické vyplývání dokazujeme nepřímo sporem: předpokládáme, že úsudek není platný (premisy pravdivé a závěr nepravdivý) a pak se k tomu zkoušíme dostat. Pokud nalezneme spor, úsudek je platný. 
V přímém způsobu nepředpokládáme opak (tedy, že úsudek je neplatný). Můžeme např. přes pravdivostní tabulku (i pokud dokazujeme tautologičnost).

Všechny úsudky se stejnou logickou formou jako nějaký platný úsudek jsou platné. Tedy, za proměnné (např. p, q, r) můžeme dosadit jiné proměnné a nic to nezmění. $(p \cap q) \supset r$

### c) Platnost / správnost
🔵 Úsudek může být platný a zároveň jeho závěr nepravdivý - avšak jedna premisa úsudku bude nutně nepravdivá. Úsudek je logicky platný pokud ve všech interpretacích, kde máme pravdivé premisy, máme pravdivý i závěr.

🔵 Správnost úsudku je dána logickou strukturou.

🔵 **Monotónnost:** Je-li úsudek platný, pak rozšíření množiny předpokladů o další předpoklad nevede ke změně platnosti úsudku. 
&nbsp;&nbsp; A 
&nbsp;&nbsp; B 
&nbsp;&nbsp; C 
◻️◻️◻️ 
&nbsp;&nbsp; E

Je to samé co:

&nbsp;&nbsp; A 
&nbsp;&nbsp; B 
&nbsp;&nbsp; C 
&nbsp;&nbsp; D 
◻️◻️◻️ 
&nbsp;&nbsp; E [Platnost / správnost ve výrokové logice](#g-správnost-vl-v-rezolučce)

### d) Spojitost mezi log. vyplýváním a platností
Logické vyplývání (pravda, nepravda) můžeme dokazovat přes platnost úsudku. Úsudek je platný, pokud je formule pravdivá, ale může být také platný, pokud závěr a jedna premisa je nepravdivá. Neplatný úsudek se skládá z nepravdivého závěru, jen když žádná z premis není nepravdivá.

## 2) VL - výroková logika
### a) Základ
Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Výrok je tvrzení, o němž má smysl prohlásit, zda je pravdivé či nepravdivé. Výrok nemůže být otázka ani rozkaz. Avšak ne všechny oznamovací věty jsou výroky (Francouzský král je holohlavý - nemá smysl se nad tímto zamýšlet, když fracouzský král ani neexistuje). 
Výroky dělíme na: 
*	Jednoduché - žádná vlastní část jednoduchého výroku již není výrokem.
*	Složené - výrok má vlastní část(i), která je/jsou výrokem. Logické spojky a závorky. 
Význam jednoduchých výroků redukuje VL na pravdu (1) a nepravdu (0). Výroková logika je tedy algebrou pravdivostních hodnot. Příklady složených výroků:

*	V Praze prší a v Brně je hezky.
*	Není pravda, že v Praze prší. (negace)

🟣 **Dobře utvořena formule:** Formální jazyk je zadán abecedou (množina výchozích symbolů) a gramatikou (množina pravidel, která udávají, jak vytvářet "Dobře Utvořené Formule" - DUF. Můžeme chápat, jako správný "syntax":

*	Výrokové symboly: p, q, r (také příklady atomických formulí)
*	Logické spojky (funktory)
*	Pomocné symboly jako např. závorky
* Neatomická formule: $(p \cap q) \supset r$
* Složená formule: $(A \cap B)$ (A, B jsou neatomické formule)

!! Špatně nezneužíváme priorit a závorek! Negace má větší prioritu než např. konjunkce nebo disjunkce. !!

🟣 **Spojky:**
* Negace: "není pravda, že", ne-sloveso
* Konjunkce: "a" (plachetnice a parníky jsou lodě - NENÍ konjunkce!), "ale", "a zároveň", v predikátové logice (PL) pak spojka pro formalizování existenční kvantif.
* Disjunkce: "nebo"
* Implikace: "jestliže, pak", "když, tak", "je-li, pak", "pokud, pak". První člen je antecedent a druhý konsekvent (nepředpokládá se žádná obsahová souvislost). POZOR: "pouze když, pak" je přehozená implikace! ("Pokud se zlepší stav mého účtu, půjdu na pivo." - $z \supset p$, "Pouze když se zlepší stav mého účtu, půjdu na pivo." - $p \supset z$). POMŮCKA: BEZ PENĚZ DO HOSPODY NELEZ! "Protože" není spojka pro implikaci. V predikátovce je implikace spojka pro formalizovaný všeobecný kvantifikátor.
* Ekvivalence: "Právě tehdy když", "tehdy a jen tehdy" ALE NE "tehdy, když" (to je implikace).
*	Negovaná ekvivalence neboli XOR: "Buď a nebo", "... a nebo...". $\neg(p \equiv q)$

### b) Sémantika (význam) formulí
* Pravdivostní ohodnocení (valuace) výrokových symbolů - 1 nebo 0, tedy pravda nebo nepravda.
* Pravdivostní funkce - pro každé ohodnocení výrokových symbolů přiřazuje formuli jeji pravdivostní hodnotu. 
(popisujeme zde pravdivostní tabulku, respektive, její proměnné a konečnou pravdivostní hodnotu formule na koncci řádku)
[Sémantika v PL](#c-sémantika-pl1)

### c) Splnitelnost formulí (tautologie, kontradikce, model)
**Model:** Ohodnocení proměnných, kde formule "A" je pravdivá - 1 na konci řádku v pravdivostní tabulce (u cvičení: kroužkujeme proměnné) 
**Splnitelná formule:** Má aspoň jeden model. Tautologie je zvláštní případ splnitelné formule. 
**Tautologie:** Každé ohodnocení je modelem. 
**Nesplnitelná formule / kontradikce:** Nemá ani jeden model. 
**Splnitelná množina formulí:** Existuje-li ohodnocení, které je modelem každé formule.
[Splnitelnost v PL](#d-splnitelnost--model-PL1) 
[Splnitelnost ve výrokové logice](#f-splnitelnost-vl-v-rezolučce)

### d) Normální formy
Každé formuli přísluší právě jedna pravdivostní funkce (pravdivostní tabulka). Každé jedné takové funkci pak přísluší nekonečně mnoho formulí, které jsou navzájem ekvivalentní (A <=> B, A <=> C, B <=> D, C <=> D, atd.). 🔵 DŮLEŽITÉ!! Nesmíme plést tyto ekvivalence: <=> (značí úpravu) s $\equiv$ (značí stejné modely / splnitelnost - u otázek na to opět upozorním)!! Platí však A <=> B, právě když formule $A \equiv B$ je tautologie. 
**Element:** = literál. Literál je výrokový symbol nebo jeho negace (p, $\neg p$). 
**Elementární konjunkce (EK) / disjunkce (ED):** konjunkce / disjunkce literálů (celkem useless). 
**Úplná elementární konjunkce (UEK) / disjunkce (UED):** EK nebo ED, kde se každý symbol z množiny vyskytuje jen jednou. Useful jen pro hledání UDNF / UKNF. 
**Konjunktivvní (KNF) / disjunktivní normální forma (DNF):** konjunkce elementárních disjunkcí a disjunkce elementárních konjunkcí respectively. 
**ÚPLNÁ KONJ. NORMÁLNÍ FORMA (UKNF) / ÚPLNÁ DISJUN. NORMÁLNÍ FORMA (UDNF):** jsou ekvivalentní s původní formulí, ze které je odvozujeme. Tvar disjunkce úplných elementárních konjunkcí a konjunkce úplných element. disjunkcí. Jsou to tzv. kanonické tvary v řádcích pravd. tabulky (1 - UEK, 0 - UED). Každá formule, která není kontradikce má UDNF. Každá formule, která není tautologie má UKNF.

### e) Rezoluční metoda ve VL - basics
Nechť I je literál (i), z formule $(A \cup I) \cap (B \cup \neg I)$ odvoď $(A \cup B)$. 
Pokud je $(A \cup I) \cap (B \cup \neg I)$ pravdivá, tak oba disjunkty (také klausule) musí být taky pravdivé (kvůli té konjunkci) $(A \cup I) = 1$ $(B \cup \neg(I)) = 1$ 
$(A \cup B)$ je pravdivá v modelu původní formule (díky disjunkcím je funkce pravdivá v jakémkoliv ohodnocení pro I (0, 1). Zachovala se pravdivost, ale není to přechod k ekvivalentní formuli. Důkaz byl proveden pro jakýkoliv model. Platí, že konjunktivní rozšiření formule o náš rezolvent (A U B) nemění pravdivostní funkci formule: $(A \cup I) \cap (B \cup \neg I) \cap (A \cup B)$

Jinými slovy: Pokud je původní formule pravdivá při nějaké valuaci a pokud je formule vycházející z původní formule pravdivá ve všech možných případech, tak vycházející formule je pravdivá v modelu původní formule. Pravdivostní funkce původní formule se nezmění, pokud vycházející formuli konjunktivně přidáme k té původní formuli.

Konjunktivní normální forma (KNF) se v rezoluční metodě nazývá klauzulární forma. Jednotlivé konjunkty se nazývají klauzule. K prázdné klauzuli na konce rezoluční metody se dostaneme přes přidávání rezolventů (blíže ve 4. prezentaci od pana M).

*	R(f) - konjunktivní rozšíření formule F o všechny rezolventy. Tedy, všechny možné kombinace rezoluce.
*	R0(F) = Ri(F) = R(Ri-1(F)) - rezoluční uzávěr formule F.
*	Platí, že: Ri(F) <=> F

### f) Splnitelnost VL v rezolučce
* Důkaz, že A je kontradikce (nesplnitelná): existuje n takové, že Rn(A) obsahuje prázdnou klauzuli. Tedy, existuje rezoluční proces, který nás dostane k prázdné klauzuli.
* Nepřímý důkaz (naše "normální" rezoluční metoda), že A je tautologie: $\neg A$ je kontradikce.
* Důkaz, že množina formulí je nesplnitelná: musíme u všech dokázat, že to jsou kontradikce.

Odvodit, co vyplývá z {A1,...,An} znamená odvodit všechny rezolventy. Používané pro AI. Máme formuli, na kterou používáme rezoluční metodu. Každé jeji upravené části odvozují další skutečnosti (cv. 4, příklad 2. v RES).
[Splnitelnost v PL](#d-splnitelnost--model-PL1) 
[Splnitelnost v logice - základy](#c-splnitelnost-formulí-tautologie-kontradikce-model)

### g) Správnost VL v rezolučce
* Důkaz správnosti úsudku $A_1...A_n\models Z$ (rezolučkama)
*	🔵 Přímý - postupným vytvářením rezolvent odvodíme, že vyplývá.
* 🔵 Nepřímý - dokážeme že $A_1...A_n \supset Z$ je tautologie, neboli $A_1 \cap ... \cap A_n \supset \neg Z$ je kontradikce - nesplnitelná. 
(příklady ve 4. prezentaci od pana M)

* V rezolučce můžeme v každém kroku vypustit jen jednu dvojici literálů.
* 🔴 Můžeme na konci z formule odvodit dvě tautologie, což je v pořádku, protože tautologie vyplývá z jakékoli formule(???).
* Můžeme uvíznout na nekonečné větvi nebo nic neodvodíme. [Platnost / správnost v logice - základy](#c-platnost--správnost)

## Důležité pojmy (so far, nalinkované mezi sebou výše)
* Vyplývání [Logické vyplývání - základy](#b-logické-vyplyvání-tedy-pravda--nepravda)
* Platnost / správnost [Platnost / správnost v logice - základy](#c-platnost--správnost)
* Splnitelnost [Splnitelnost v logice - základy](#c-splnitelnost-formulí-tautologie-kontradikce-model)
* Sémantika [Sémantika ve VL](#b-sémantika-význam-formulí)

## 3) 🔵 Množiny
### a) Co je množina?
Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. 
Prvkem množiny může být opět množina. Množina také nemusí mít žádné prvky: $\varnothing$. 
Příklady množin: $\varnothing$, {a,b}, {b,a},{a,b,a}, {{a,b}}, {a,{b,a}}, { $\varnothing$ , { $\varnothing$ },{{ $\varnothing$ }}} 
Množiny jsou identické, právě tehdy a jen tehdy, když mají stejné prvky (princip extenzionality).

### b) Důležité vztahy a operace (a můžeme nahradit čímkoliv, jen nechat závorky a symboly)
*	$a \in$ {a, b}
*	$a \notin$ {{a, b}} ALE {a,b} $\in$ {{a,b}}
*	$\varnothing \in$ { $\varnothing$ , { $\varnothing$ },{{ $\varnothing$ }}}, ale neleží pro žádné a,b,c..
*	{a, b} = {b, a} = {a,b,a} ALE {a,b} $\ne$ {{a, b}} $\ne$ {a, {b, a}}
*	$\varnothing \notin \varnothing$ ALE $\varnothing \subseteq \varnothing$ (prázdná množina je podmnožinou každé množiny, i samo sebou)
*	{a} $\subseteq$ {a} (každá množina je svou podmnožinou)
*	$\varnothing \subseteq$ {a} ALE $\varnothing \notin$ {a}
*	{a} $\nsubseteq$ {{a}}

* Podmnožina: $\subseteq$ - A je podmnožinou B, právě když A $\cup$ B = B A ZÁROVEŇ právě když A $\cap$ B = B. V A jsou prvky z B.
* Vlastní podmnožina: $\subset$ - A je vlastní podmnožinou B, právě když A je podmnožinou B, ale A se nerovná B (B má vlastní prvky, které nejsou v A).
* Průnik: $\cap$
* Sjednocení: $\cup$
* Rozdíl: \
* Doplněk (komplement): Doplněk A k M. Nechť A je podmnožinou M, výsledek = M \ A
* Kartézský součin: NOTE! <a,b> se nerovná <b,a>. U n-tic záleží na pořadí a prvky se mohou opakovat (narozdíl od množin)
* Zobecnění: A x ... x A - množina n-tic. Také můžeme značit $A^{n}$.
* Potenční množina: P(A) = {B | B $\subseteq$ A}, značíme také $2^{A}$. Krátce, do potenční množiny libovolné množiny patří: Ø, všechny prvky množiny individuálně a všemožné kombinace prvků mezi sebou v množině.

🔵 **Kardinalita / mohutnost:** Mohutnost množiny (také kardinalita množiny) je pojmem teorie množin vyjadřující velikost, počet prvků u konečných, ale i nekonečných množin. Značíme |M|. 
|A| = |B| právě když existuje bijekce f (níže): A $\to$ B 
|A| menší nebo rovno |B| právě když existuje injekce f (níže): A $\to$ B

### c) Relace a funkce
* Relace mezi množinami A, B je podmnožina Kartézského součinu A x B. Používa n-tice.
* Notace: <a,b> $\in$ R značíme také R(a,b) nebo a R b.
* Můžeme si představit jako tabulku (i v prezentaci), kde řádky jsou jednotlivé n-tice.

Funkce (zobrazení):
* Ve funkci musí být v prním argumentu furt „stejný“ prvek ($a_1$, $a_2$, $a_3$ – $a_1$, $a_2$ nebo $a_3$ se nesmí opakovat) a ke každému takovému prvku existuje nanejvýš prvek druhý (výsledek funkce).
* Množinu M x...x M nazýváme def. obor (doména) funkce f, množinu M pak obor hodnot (range).
* Jako interpretace funkčních symbolů symbolů formulí predikátové logiky 1 (níže v dokumentu) používáme pouze totální funkce.

* Surjekce: Všechny prvky z "pravé" množiny musí být použité a více prvků z "levé množiny" může vést k jednomu prvku zprava.
* Injekce: Všechny prvky z levé množiny musí být použité a více prvků z pravé množiny nemůže vést k jednomu zprava.
* Bijekce: Párování každého prvku s každým z obou množin.

* 🔵 Parciální funkce - nemá žádný obraz
* Totální funkce - celá doména, např. f(x)

## 4) Predikátová logika 1. řádu (PL1)
### a) Co je PL1?
Jednoduché výroky, kde VL nestačí. "existuje ..", "všechna ..", "žádná .." apod. 
*	x - je individuová proměnná. Člen nějakého predikátu ("skupiny").
* Velké písmena (např. P v P(x)) jsou predikátové symboly.
*	Funkční symbol - konstanta (např. "a", O(a)).
*	Každý symbol proměnné (x,y,...) je term.
*	Jsou-li prvky ve funkci termy a f je funkční symbol, tak f($t_1$, $t_2$) je term.
* Atomické formule se skládá z predikátového symbolu, který má v závorce termy (P(x), P(t)).
* Formule - každá atomická formule je formule.

### b) 🟣 Jazyk PL1
* Všeobecný kvantifikátor: "všichni", "žádní", "nikdo".
* Existenční kv.: "někdo", "něco", "někteří", "existuje".
* POZOR NA DVOJÍ ZÁPOR! Je lepší si větu přeložit do AJ, příklady: 1) "Žádná ryba není inteligentní." $\to$ "No fish is inteligent". Negace bude u vlastnosti inteligence!!, 2) "Všichni vodníci nejsou mokří." $\to$ "All mermen are not wet." Negace bude na začátku formule!! (lehce clunky angličtina nutná pro tuto pomůcku)

### c) Sémantika PL1
Pokud nevíme, co znamenají symboly v PL (P, Q, R,...), tak nemá smysl zjišťovat pravdivost formule. Avšak např. P(x) $\supset$ P(x) je vždy pravdivá (za všech okolností), je tautologie.

* P(x, f(x)) - binární (2 argumenty). Označuje tedy binární relaci. R $\subseteq$ U x U
* f(x) - unární. Označuje tedy nějakou funkci. f $\subseteq$ U x U, f: U $\to$ U
[Sémantika ve VL](#b-sémantika-význam-formulí)

### d) Splnitelnost / model PL1
Spojené se sémantikou. Model je interpretace (skládá se z univerza, relací a funkcí), ve které vše dává smysl.
Např.: U - všichni lidi
R(x) - x jsou členi univerza, třeba: jsou savci. PLATÍ!
U - přirozená čísla bez nuly a jedničky
R(x, y) - y je druhý prvek pro člen univerza, na y je aplikovaná funkce:
f(y) - $x^{2}$
PLATÍ! Pro každý člen univerza existuje nějaký prvek, který není stejný jako x a je to jeho druhá mocnina.
(další příklady sémantiky a modelů jsou v 6. prezentaci, 20. slide a dál nebo ve CV.)
[Splnitelnost v logice - základy](#c-splnitelnost-formulí-tautologie-kontradikce-model) 
[Splnitelnost ve výrokové logice](#f-splnitelnost-vl-v-rezolučce)

### e) Rezolučka PL1
Formule $\models$ F je pravdivá ve všech interpretacích. 
Formule $P_1...P_n \models Q$ je pravdivá ve všech modelech množiny předpokladů. POUZE PRO UZAVŘENÉ FORMULE!! 
* Pokud máme mezi jednotliv. P konjunkce, tak Q je pravdivá ve všech modelech. \neg Q pak není pravdivá v žádném modelu.
* Znak vyplývání můžeme brát jako implikaci.
* PRO UZAVŘENÉ FORMULE PLATÍ EKVIVALENCE!!
* Pokud je negovaná formule kontradikcí (prázdna klauzule), tak původní formule je logicky pravdivá.
* Formule je nesplnitelná, když je nepravdivá v každé interpretaci nad všemi možnými univerzy.

Skolemova klauzulární forma je speciální konjunktivní normální forma pro PL rezolučku. - 🔵 důkaz sporem (přímý důkaz můžeme použít jen když formule neobsahují existenční kvantifikátory). 
**Skolemizace:** ZACHOVÁVÁ SPLNITELNOST!! Avšak skolemizovaná formule nemusí být ekvivalentní k původní formuli, ani z ní vyplývat.

**Klauzule:** 
Klauzule je konečná disjunkce literálů. 
Vzhledem k asociativitě a komutativitě disjunkce nezáleží na pořadí literálů v klauzuli a klauzuli můžeme také pojímat jako disjunktivní množinu literálů. 
Klauzulární formu můžeme také pojímat jako konjunktivní množinu klauzulí.

## 5) Aristetolova logika
* 🔵 Fragmenty predikátové logiky.
* SUBJEKT, a úsudky z nich vytvořené.

*	Všechna S jsou P, SaP
*	Žádné S není P, SeP
*	Některá S jsou P, SiP
*	Některá S nejsou P, SoP

Všechny pojmy S, P jsou zde neprázdné. 
Aristetolova logika - logický čtverec might be helpful. 
Součástí Aristetol. logiky jsou sylogismy a Vennovy diagramy.

🔵 SLOVA PANOVA (potvrzeno panem M)
*Jestliže jsou premisy i závěr pravdivý, pak je usudek platný.* NEPLATÍ!! 💥

## OTÁZKY!! (vysvětlení k individuálním odpovědím v závorce, špatné odpovědi mohou chybět, ale nejdůležitější jsou stejně odpovědi správné) 
- formule nejsou přepsané do Latexu protože není moc čas
[Link / skok úplně nahoru](#předmluva)

### 1) Pro formuli $p \supset (q \lor \neg q)$
💚 Je splnitelná (v pravdivostní tabulce má aspoň jeden řádek na konci jedničku, tato formule je dokonce tautologie) 
💚 Je ekvivalentní s formulí $(p \land q) \supset q$ (obě formule mají stejné výsledky pravdivostní tabulky – jsou tautologiemi) 
💚 Je ekvivalentní s formulí $q \supset (\neg p \lor p)$ (obě formule mají stejné výsledky pravdivostní tabulky – jsou tautologiemi) 
💚 Je logicky pravdivá, neboť konsekvent implikace je v každé valuaci výrokové proměnné q pravdivý. 
💥 Její negace je splnitelná formule (její negace je kontradikce, přotože původní je tautologie)

### 2) Pomocí rezoluční metody v PL1
💚 Lze syntaticky ověřovat platnost Aris. sylogismů. ((jsou to pozůstatky / fragment PL) 
💚 Lze ověřit platnost libovol. Aris. sylogismu. ((jsou to pozůstatky / fragment PL) 
💚 Lze nepřímo dokazovat platnost daného úsudku. (rezolučka umí dokazovat přímo i nepřímo) 
💚 Lze parciálně ověřit tautologičnost formule. 
💚 Lze nepřímo dokázat tautologičnost formule. 
💚 Lze parciálně rozhodnout tautologičnost formule. 
💥 Ověřujeme, zda závěr vyplývá z nespočetné množiny předpokladů (toto je case diagramů nebo VL, ale určitě ne PL)

### 3) Sémantická metoda ve VL
💚 Aplikovaná na daný úsudek ověřuje, zda závěr pravdivý ve všech modelech předpokladů (ano, sémantika je přece jenom o pravdivostních hodnotách výroků) 
💚 Není metoda sémantických tabel (sémantické tabla, také tree proof, je grafická metoda) 
💚 Je tabulková metoda a metoda sémantickým sporem (rozumíme pravdivostní tabulku nebo důkaz sporem) 
💚 Ověřuje platnost pomocí valuací výrokových proměnných.

### 4) Mějme množiny A = {1,2,3}, B = {b} a relaci R. Která z následujících tvrzení jsou platná?
💚 Pokud relace R je definována jako podmnožina A x B: {[1,b], [2,b], [3, b]}, pak se jedná o surjektivní zobrazení 
💚 Pokud relace R je def jako podmnožina BxA: {[b,1],[b,2],[b,3]},nejedná o zobrazení. (pozor! místo A x B je tu B x A) 
💚 Pokud relace R je definována jako podmnožina B x A $\cup$ A x B a jedná se o symetrickou relaci. Pokud je v relaci R dvojice [1,b], pak se v relaci R nachází rovněž dvojice [b,1] 
💚 Pokud relace R je definována jako podmnožina A x B: {[1,b], [2,b], [3, b]}, pak se nejedná o injektivní zobrazení 
💚 Pokud relace R je def jako podmnožina BxA sjednoceno s AxB a jedná se o symetrickou relaci, potom je v relaci R dvojice [1,b], pak se v relaci R nachází rovněž dvojice [b,1].

### 5) Které z tvrzení platí pro formuli $\forall x \forall y$ [P(x,y) $\supset$ Q(f(x),y)]
💚 V jejím modelu je binární relace P podmnožinou relace Q (binární relace má dva argumenty - zde "y", které je u obou stejné a "x", které se v Q aplikuje do funkce) 
(TO DÁLE ZNAMENÁ:) 
💚 Je splnitelná, neboť existuje její model. 
💚 Má jako svůj model například tuto interpretační strukturu: 
U = N (množina přir. čísel), 
P={[x,y]|x=y}, Q={[x,y]|x>=y}, 
f' ... druhá mocnina. 
💚 Relace Q funkční symbol se interpretuje jako totální funkce. 
💚 Funkční symbol se interpretuje jako totální funkce.

### 6) Metoda Vennových diagramů
💚 Je sémantická metoda, která ověřuje, zda závěr je platný ve všech modelech předpokladů 
💚 Je sémantická metoda, kterou lze ověřit platnost Aristotelových sylogismů (sémantické metody pro PL a Aristetolovu logiku obsahují Venn. Diagramy) 
💚 Používá se pro ověření platnosti úsudků v PL1 s maximálně třemi jednomístnými predikáty (ve cvičeních min. 2 množiny a max 3) 
💚 Je založena na naivní teorii množin (predikáty jsou podobné množinám)

### 7) Která z následujících tvrzení platí pro tuto situaci: množina A je podmnožinou množiny B.
💚 Rozdíl množiny A a B je prázdná množina (V množině A by nic nezbylo - dle definice podmnožiny) 
💚 Doplněk množiny B leží v doplňku množiny A (doplněk je odečítání druhý od prvního) 
💚 Všechny prvky množiny A leží v množině B i v případě, že A je prázdná množina. 
💚 Prvek leží v množině A pouze když leží v množině B. 
💚 Množina A je identická množině B, právě když mají stejné prvky, to jest, když všechny prvky náležící množině A náleží také množině B a naopak.

### 8) Následující úsudek:
Číslo 2 je nezáporné. 
Číslo 2 je prvočíslo. 
◻️◻️◻️ 
Číslo 2 je dělitelné samo sebou beze zbytku. 
💚 Je neplatný, protože závěr z premis nevyplývá (logika je jako AI, nechápe souvislost mezi tím, že 2 je „členem prvočísel“ a tím, že prvočísla, tedy i 2, jsou dělitelné samo sebou beze zbytku) 
(TO ZNAMENÁ ŽE:) 
💚 Je neplatný, protože formalizujeme-li jej, pak závěr není platný v libovolném modelu předpokladů. 
💚 Má v určité interpretační struktuře premisy pravdivé i závěr pravdivý, ale není platný.

### 9) Které z tvrzení platí pro formuli ∀x[P(x) ⊃ Q(a,b)]
💚 Formule [∃xP(x) ⊃ Q(a,b)] z ní vyplývá. 
💚 Je ekvivalentní formuli [∃xP(x) ⊃ Q(a,b)] 
💚 Je ekvivalentní s formulí [¬∃xP(x) ⋁ Q(a,b)] (mají stejné modely) 
💚 Má stejné modely jako formule [¬∃xP(x) ⋁ Q(a,b)] 
💥 Je ekvivalentní s formulí [∀xP(x) ⊃ Q(a,b)] 
💥 Je ekvivalentní s formulí [¬∃xP(x) ⊃ Q(a,b)] 
💥 Její negací je formule ∀x[P(x) ⋀ ¬Q(a,b)] (není ani změněný kvantifikátor)

### 10) Pomocí rezoluční metody ve VL
💚 Lze ověřit, zda negovaná formule je kontradikce. 
💚 Lze nepřímo dokázat tautologičnost formule. 
💚 Lze ověřit tautologičnost formule a platnost úsudku VL. 
💚 Lze nepřímo dokázat platnost úsudku. 
💥 Lze ověřit, že tento úsudek je platný: 
Všechny opice jsou krásné, 
Judy je opice 
◻️◻️◻️ 
Judy je krásná. (platí pro PL a ne VL)

### 11)	Která z následujících tvrzení jsou pravdivá?
💚 Relace je podmnožina kartézského součinu 
💚 Následující relace nad celými čísly jsou totální funkce: sčítání, násobení, rozdíl (dělení je parciální) 
💚 Všechny podmnožiny relace A = {<1, 2>, <2, 4>, <3, 6>} jsou relacemi 
💚 Funkce dělení na celých číslech je parciální 
💚 Pokud v metodě přirozené dedukce zavedeme hypotézu H a odvodíme z ní formuli A, pak jako řádný krok důkazu musíme zavést formuli H ⊃ A 
💚 Princip unifikace v obecné (…), kdy je |- ∀x Px⊃P(X/term) 
💚 Metodou sémantických tabel využívá disjunktivních zákonu 
💚 Správnost úsudku ověřujeme bez empirického zkoumání stavu světa 
💚 Pro automatizované ověření platnosti úsudku je důležitá jeho správná formalizace 
💚 Hilbertův kalkul je úplný kalkul stejně jako metoda přirozené dedukce. 
💥 Funkce sčítání reálných čísel je pouze parciální 
💥 V případě, že u důkazu tautologičnosti formule F sporem pomocí Obecné rezoluční metody dojdeme ke sporu, tak daná formule F je tautologie 
💥 Zobrazení není relace (relace je zobrazení)

### 12)	Které z následujících systémů spojek ve VL jsou úplné:
💚 negace, konjunkce 
💚 negace, disjunkce 
💚 negace, implikace 
? neg, konjunkce, disjunkce (spíše 💚) 
💥 disjunkce, implikace 
💥 konjunkce, disjunkce 
💥 konjunkce, implikace 
💥 konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence 
(víme, že {¬, ∧, ∨, ⇒} tvoří úplný systém logických spojek.. nyní si stačí uvědomit, že platí: (a ⇒ b) |=| (¬a ∨ b) a (a ∧ b) |=| ¬(¬a ∨ ¬b).. 3. množina ∆ = {¬, ∧} tvoří úplný systém logických spojek - jediné správné kombinace jsou: {¬,→}, {¬,∧}, {¬,∨}, SOURCE: MUNI)

### 13) Označte, které z následujících formulí jsou logicky pravdivé.
💚 [∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)] ⊃ ∀x[P(x) ∨ Q(x)] (přesouvání kvantifikátoru jako krok 6 skolemizace - zákon distribuce kvantifikátorů!!) 
💚 ∀x P(x) ⊃ (Q(y)⊃∀x P(x))
💚 ∀x [Px ⋀ Q(x)]≡[∀x Px ⋀ ∀xQ(x)]
💚 ¬∃x[A ⊃ B(x)] ≡ ∀x[¬A ∨ B(x)] (modely) 
💚 ∃x[P(x) ∧ Q(x)] ⊃ [∃xP(x) ∧ ∃xQ(x)] (přesouvání kvantifikátoru jako krok 6 skolemizace - zákon distribuce kvantifikátorů!!) 
💚 ¬∃x[P(x) ∧ Q(x)] ⊃ [∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)] (negace, přesouvání kvantifikátoru jako krok 6 skolemizace - zákon distribuce kvantifikátorů!!) 
💚 A(x/y) ⊃ ∃xA(x) (term t je substituovatelný za proměnnou x) 
💥 ¬∀x[P(x) ∧ Q(x)] ≡ [∃xP(x) ∧ ∃xQ(x)] 
💥 ¬[∀xP(x) ⊃ (Q(y) ⊃ ∀xP(x))] ≡ [∃x¬P(x) ∨ (Q(y) ∧ ∃xP(x))] 
💥 ∀xA(x) ≡ ∃xA(x) (není to samé) 
💥 ∀x∀yA(x,y) ⊃ ∀x∀y¬A(x,y) 
💥 ∃x∀yA(x,y) ≡ ∃y∀xA(x,y) (nemůžeme vyměnit proměnné v kvantifikátorech) 
(logicky proveditelné / platné: 
💚 ∀xPx ⊃ Qy ⊃ ∀xPx 
💚 [∀xPx ∨ ∀xQx] ⊃ ∀xPx ∨ Qx 
💚 ∀x[Px ⋀ Q(x)] ≡ [∀xPx ⋀ ∀xQ(x)] 
💚 [¬∃x∀yPx,y ⊃ ∀y∃xPxy] ≡ [∃x∀y Px,y ⋀ ∃y∀x¬P(x,y)] 
)

### 14) Určete, které z následujících úsudků jsou logicky platné:
💚 Venku prší. Karel je veselý. Venku prší. (pokud je závěr v předpokladu, tak vyplývá) 
💥 Každý filozof je líný. Petr není filozof. Petr není líny. (Petr může být líný, není nijak dáno, že jenom filozofové jsou líní) 
💥 Každý pes je zelený. Alík není pes. Alík není zelený. (stejné vysvětlení jako u filozofů) 
💥 Venku sněží. Svítí slunce. Venku nesněží. (spor)

### 15) Složené výroky ve VL jsou:
💚 Dnes sněží a mrzne. 
💚 Jestliže bude sněžit, tak si postavíme sněhuláka.
💥 Sněhová královna vládne v říši sněhu a ledu. (neexistuje sněhová královna, nemá smysl se nad tímto vůbec zamýšlet) 
💥 Mrzne až praští. (subjektivní) 
💥 Z čerstvě napadaného sněhu se velmi dobře budují velké hromady. (nemá ani spojku) 
💥 Lední hokej je velmi zajímavý sport pro všechny věkové kategorie. (subjektivní a není tam ani spojka)

### 16) 🔴 Nechť PU a QU jsou obory pravdivosti predikátů P, Q. Pak:
💚 Je-li formule ∀xPx ⊃ Qx v dané interpretaci pravdivá, pak platí, že PU ⊆ QU 
💚 Je-li formule ∀x[P(x) ∧ Q(x)] v dané interpretaci pravdivá, pak platí, že PU = QU. 
💚 Je-li formule ∃x[P(x) ∧ Q(x)] v dané interpretaci pravdivá, pak platí, že (PU ∩ QU) je neprázdný. 
💚 Je-li formule ∃x[P(x ⊃ Q(x)] logicky pravdivá, pak PU není identické s universem U nebo QU = U. 
💚 Formule ∀x[P(x) ⊃ Q(x)] ⊃ [∃xP(x) ⊃ ∃xQ(x)] je logicky pravdivá, neboť jeli PU ⊂ QU, pak je-li P U Q neprázdné, je také QU neprázdné. 
💚 Formule ∀x[P(x) ⊃ Q(x)] ⊃ [∀xP(x) ⊃ ∀xQ(x)] je logicky pravdivá, neboť je-li PU ⊆ QU, pak je-li PU = U, je také QU. 
💚 Formule ∀x[P(x) ⊃ Q(x)] ≡ [∃xP(x) ⊃ ∀xQ(x)] je logicky pravdivá, neboť je-li PU ⊆ QU, pak je-li PU neprázdné, tak QU = U. 
💚 Formule [∃xP(x) ∧ ∃xQ(x)] ⊃ ∃x[P(x) ∧ Q(x)] je logicky pravdivá, neboť je-li (PU ∩ QU) neprázdný, pak musí být jak PU, tak QU neprázdné. 
💚 Formule [∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)] ≡ ∀x[P(x) ∨ Q(x)] je logicky pravdivá, neboť je-li PU = U nebo QU = U, pak je také sjednocení (PU ∪ QU) = U. 
💚 Formule ∃x[P(x) ∧ Q(x)] ⊃ [∃xP(x) ∧ ∃xQ(x)] je logicky pravdivá, neboť je-li (PU ∩ QU) neprázdné, pak musí být jak PU, tak QU neprázdné. 
💚 Formule ∃x[P(x) ∨ Q(x)] ≡ [∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)] je logicky pravdivá, protože je-li (PU ∪ QU) neprázdné, pak musí být PU nebo QU neprázdné množiny a naopak.

### 17) Určete, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
💚 Relace použité pro interpretaci v PL1 musí být homogenní. 
💚 Princip unifikace v obecné (…), kdy je |- ∀x Px⊃P(X/term). 
💚 Metodou sémantických tabel využívá disjunktivních zákonu. 
💚 Libovolnou n-argumentovou funkci lze vyjádřit pomocí n+1 argumentové relace. 
💚 Správnost úsudku je dána pouze logickou strukturou premis a závěru. 
💚 Správnost úsudku ověřujeme bez empirického zkoumání stavu světa. 
💚 PL1 pracuje pouze s totálními funkcemi, tj. takovými, kdy každý vzor má právě jeden obraz. 
💚 Metodou přirozené dedukce v PL 1 lze dokazovat jak přímo, tak i nepřímo. 
💚 Pokud je množina A vlastní podmnožinou B, pak B má alespoň jeden prvek, který neleží v A. 
💚 Při použití obecné rezoluční metody obecně vedeme důkaz nepřímo. 
💚 Sound argument je takový, jehož premisy jsou pravdivé, tedy i závěr je pravdivý. 
💚 Pokud je množina A vlastní podmnožina množiny B, pak B má aspoň jeden prvek, který neleží v A. 
💚 Všechny podmnožiny relace A = {<1,2>,<2,4>,<3,6>} jsou relacemi. 
💚 Operaci rozdíl libovolných dvou množin lze vyjádřit pomocí operace doplňku na těchto dvou množinách. 
💚 Potenční množina množiny M je množina všech podmnožin množiny M, tedy mezi její prvky patří i množina M. 
💚 Pokud v metodě přirozené dedukce zavedeme hypotézu H a odvodíme z ní formuli A, pak jako řádný krok důkazu musíme zavést formuli H ⊃ A 
💚 Funkce dělení na celých číslech je parciální. 
💚 Relace je podmnožina kartézského součinu. 
💚 Následující relace nad celými čísly jsou totální funkce: sčítání, násobení, rozdíl. 
💚 Pro automatizované ověření platnosti úsudku je důležitá jeho správná formalizace. 
💚 Hilbertův kalkul je úplný kalkul stejně jako metoda přirozené dedukce. 
💚 Tautologií v PL1 jsme schopni odhalit pomocí ekviv. úprav, kdy daná formule je transformovatelná obecně do formule ve tvaru A V ¬A. 
💥 Jestliže jsou premisy i závěr pravdivé, pak je úsudek platný. (neplatí, potvrzeno Menšíkem) 
💥 Predikátová logika druhého řádu je méně expresivní než PL1. (druhý řád je víc expresivní - logicky) 
💥 Každý platný úsudek, který jsem schopni adekvátně formalizovat v PL1, jsme schopni adekvátně formalizovat i ve VL tak, že zůstane platným. 
💥 Ze sporné množiny předpokladů nemůže vyplývat pravdivý závěr. 
💥 Funkce je libovolná podmnožina kartézského součinu. 
💥 Relace je pouze zprava jednoznačné zobrazení. 
💥 Funkce použité pro interpretaci v PL1 mohou být parciální, tj. takové, kdy každý vzor má minimálně jeden obraz. (parciální = nemá žádný obraz)
💥 Množiny jsou identické, právě když mají stejný počet prvků. 
💥 Pokud existuje nějaký prvek, který je v množině A a není v množině B, potom je B nutně podmnožinou množiny A. 
💥 Pokud mají dvě množiny stejnou mohutnost, pak jsou identické. 
💥 Pokud použijeme rezoluční pravidlo v PL1, tak výsledná rezolventa je ve sporu s klauzulemi, které do pravidla vstupují. 
💥 Relace, která není celým kartézským součinem je funkce 
💥 Průnik dvou libovolných množin je vždycky neprázdný.

### 18) Nechť F je formule VL obsahující literály a, b, c, pak F:
💚 Má celkem 8 ohodnocení. (2 na počet literálů) 
💚 Je splnitelná, pokud je tautologií. 
💚 Je nesplnitelná, pokud nemá model. 
💚 Může být převedena do úplné konjunktivní normální formy, pokud není tautologíí.
💥 Je tautologií, pokud existuje alespoň jeden model. (musí být všechny model) 
💥 Je sporná, pokud aspoň jedno ohodnocení není modelem. 
💥 Je kontradikcí, pokud nemá alespoň jeden literál pravdivé ohodnocení. (neřešíme literály, ale modely a nesmí být žádný model)

### 19) Pomocí Vennových diagramů provádíme v PL1:
💚 Ověřování platnosti úsudků, které jsou složeny ze tří subjekt-predikátových (S-P) výroků (kde S i P jsou nějaké vlastnosti). 
💚 Ověřování platnosti libovolných úsudků v PL1. 
💚 Kontrolu správnosti kategorických sylogismů. (Aristetol. sylogismy) 
💚 Ověřování platnosti úsudků v PL1, pokud obsažené predikáty jsou unární. (P(x) řešíme s těmito predikáty) 
💥 Ověřování platnosti úsudků v logikách vyšších řádů než PL1. 
💥 Kontrolu správnosti úsudků, které jsou složeny z elementárních výroků VL. 
💥 Ověřování platnosti úsudků v PL1, pokud obsažené predikáty jsou aspoň binární.

### 20) Nechť A, B ⊨ C a A, C ⊨ D, pak:
💚 Formule D je pravdivá v každém modelu množiny formulí {A, C}. 
💚 A,C ⊨ C 
💥 Formule A je pravdivá ve všech modelech množiny formulí {B, C}. 
💥 Pokud jsou formule A, B nepravdivé, pak je i C nepravdivé. 
💥 Když není pravdivá formule D, tak není pravdivá ani A ani B.

### 21) Nechť platí: A, B, C ⊨ D, pak:
💚 D je formule pravdivá v každém modelu množiny formulí {A, B, C}. 
💚 A, B ⊨ D 
💚 A, B, C, E ⊨ D 
💚 Nemůže nastat případ, kdy formule A, B, C jsou v určené interpretaci pravdivé a formule D není 
💚 Pokud je D nepravdivá formule, pak je alespoň jedna formule z A, B, C nepravdivá 
💥 Formule D nemusí být pravdivá v každém modelu množiny formulí {A, B, C}, avšak musí být pravdivá v aspoň jednom. 
💥 Množina formulí {A, B, C, ¬D} má model. 
💥 A, B, C, D jsou nutně pravdivé

### 22) Která z následujících tvrzení jsou správné?
💚 Žádná valuace kde q=0 a r=0, není modelem formule (p⊃q) ⋀ (q ∨ r) 
💚 Jedním z modelů formule (p⊃q) ⋀(q ∨ r) je valuace p=0, q=0, r=1 
💚 Každá valuace, pro kterou je q=1, je modelem formule (p ⊃ q) ∧ (q ∨ r) 
💚 Formule ∀x[P(x) ⊃ Q(x)] definuje v dané interpretaci vztah „být podmnožinou“ mezi obory pravdivosti P a Q. (pokud je členem P tak je členem Q) 
💚 Formule ∃x[P(x) ⊃ Q(x)] definuje v dané interpretaci vztah „být podmnožinou“ mezi obory pravdivosti P a Q. (pokud je členem P tak je členem Q) 
💚 Formule ∀xPx⊃¬Qx definuje v dané interpretaci vazbu „být disjunktem“ … P a Q 
💚 Každá formule tvaru ∃xP(x) definuje v dané interpretaci určitou podmnožinu universa. 
💚 Každá formule tvaru P(x) s volnou proměnnou x definuje v dané interpretaci určitou podmnožinu universa. 
💚 když chceme rezoluční metodu použit v PL tak je nutno formuli dát to Skolemovy klauzulární formy. 
💥 Formule ∀x[P(x) ⊃ ¬Q(x)] definuje v dané interpretaci vztah „být podmnožinou“ mezi obory pravdivosti P a Q.

### 23) Určete, co platí pro klausuli:
💚 Je to konečná disjunkce literálů. 
💚 Je to elementární disjunkce. 
💚 Neobsahuje konjunkci. 
💚 Neobsahuje implikaci. 
💥 Je to elementární konjunkce. 
💥 Obsahuje pouze konjunkci literálů. 
💥 Je to konečná konjunkce výrokových symbolů. 
💥 Obsahuje pouze výrokové proměnné.

### 24) Která z následujících tvrzení jsou platná pro vztahy mezi množinami:
💚 Množina A je identická množině B, právě když mají stejné prvky, to jest, když všechny prvky náležící množině A náleží také množině B a naopak. 
💚 Množina A je vlastní podmnožinou množiny B, značíme A ⊂ B, právě tehdy, když každý prvek z A je také prvkem B a ne naopak. 
💚 Prázdná množina je podmnožinou každé množiny. 
💚 Pokud je množina A vlastní podmnožinou množiny B, pak B má aspoň jeden, který neleží v A. 
💥 Z definice podmnožiny plyne, že ne každá množina je svou podmnožinou. 
💥 Množina A se rovná množině B, právě když každý prvek A je také prvkem B a ne naopak. 
💥 Prázdná množina není podmnožinou žádné množiny. 
💥 Množina A je podmnožinou množiny B, značíme A ⊆ B, právě tehdy a jen tehdy, když mají identické prvky. 
💥 Množina A je vlastní podmnožinou množiny B, značíme A ⊂ B, právě když každý prvek A je také prvkem B. 
💥 Množina A se rovná množině B, právě když každý prvek A je také prvkem B a ne naopak.

### 25) Která z následujících tvrzení platí pro rezoluční metodu ve VL?
💚 Rezoluční metoda umožňuje prokázat platnost úsudku jak sporem, tak přímou metodou. 
💚 Platnost úsudku nezávisí na interpretaci. 
💚 V případě nepřímého důkazu tautologičnosti pomocí rezoluční metody formule ((a ⊃ b) ∧ (b ⊃ c) ⊃ (a ⊃ c) dojde k odvození prázdné klausule. 
💚 Pro důkaz pomocí rezoluční metody je nutné převést formuli do KNF. 
💥 Pro důkaz pomocí rezoluční metody je nutné převést formuli do UKNF. 
💥 Pro důkaz pomocí rezoluční metody je nutné převést formuli do UDNF. 
💥 Pro důkaz pomocí rezoluční metody je nutné převést formuli do DNF. 
💥 V případě nepřímého důkazu tautologičnosti formule ((a ⊃ b) ∧ (b ⊃ c) ⊃ (a ⊃ c) pomocí rezoluční metody nedojde k odvození prázdné klausule. (DOJDE!)

### 26) Která tvrzení platí:
💚 Pokud mě zajímá podoba výsledné pravdivostní funkce dané formule, použiji tabulkovou metodu nikoli rezoluční. 
💚 Formule VL má 2 na "n" možných valuací, kde "n" je počet výrokových proměnných v dané formuli. 
💚 Pokud výrokově logický úsudek zapíšeme ve tvaru formule (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) ⊃ Z, kde P1 až Pn jsou premisy a Z je závěr, pak je úsudek platný tehdy a jen tehdy, když je tato formule pravdivá v každé valuaci. 
💚 Metoda sémantických tabel je grafická metoda aplikace distributivního zákona. 
💚 Metoda ověřování tautologičnosti formule sémantickým sporem ověřuje, zda existuje valuace, která splňuje negovanou formuli. 
💥 Důkaz pomocí rezoluční metody lze vést ve VL pouze přímo. 
💥 Rezoluční pravidlo lze na formuli F uplatňovat, pouze když je formule převedena do úplné normální konjunktivní formy. 
💥 Rezoluční pravidlo ve VL zachovává splnitelnost, ale nikoliv pravdivost. 
💥 Každá tautologie tvoří úplnou konjunktivní i disjunktivní normální formu.

### 27) Mějme množiny A, B, C. Pak množina (A ∩ (B ∪ C):
💚 Je prázdná, pokud A neobsahuje alespoň jeden prvek z B nebo z C. 
💚 Je prázdná vždy, když (B ∪ C) je prázdná. 
💚 Je prázdná vždy když A je prázdná. 
💚 Obsahuje maximálně |A| prvků. 
💥 Obsahuje minimálně |B|+|C| prvků. 
💥 Je prázdná, pokud alespoň jedna z množin A, B, C je prázdná. 
💥 Je vždy prázdná. 
💥 Je neprázdná, pokud každá z množin A, B, C je neprázdná.

### 28) Co následujícího platí? (je fajn si tu udělat pravdivostní tabulku)
💚 Jedním z modelů formule (p ⊃ q) ∧ (q ∨ r) je valuace p=0, q=0, r=1. 
💚 Každá valuace, pro kterou je q=1, je modelem formule (p ⊃ q) ∧ (q ∨ r). 
💥 Žádná valuace, pro kterou p=0 a q=0, není modelem formule (p ⊃ q) ∧ (q ∨ r). 
💥 Valuace p=1, q=0, r=1 je modelem formule (p ⊃ q) ∧ (q ∨ r). 
💥 Formule (p ⊃ q) ∧ (q ∨ r) má právě 2 modely. 
💥 Formule (p ⊃ q) ∧ (q ∨ r) má 5 modelů. 
💥 Žádná valuace, pro kterou q=0, není modelem formule (p ⊃ q) ∧ (q ∨ r).

### 29) Která z následujících formulí patří mezi zákony komutace kvantifikátorů?
💚 ∀x∀y A(x,y) ≡ ∀y∀x A(x,y) 
💚 ∃x∀y A(x,y) ⊃ ∀y∃x A(x,y) 
💚 ∃x∃y A(x,y) ⊃ ∃y∃x A(x,y)

### 30) Formule F je splnitelná v interpretaci
💚 Právě tehdy když existuje ohodnocení e proměnných takové, že platí |= F[e] v interpretaci I 
💚 Právě když existuje ohodnocení e proměnných takových, že F[e] je pravdivá v dané interpretační struktuře 
💚 Právě když existuje ohodnocení e promenných takový, že formule F je v tomto ohodnocení v dané interpretaci pravdivá

### 31) Algebraickou strukturu (R \ {0}, *) s operací násobení Nad množinou reálných čísel.
💚 Operace * je uzavřená na nosiči 
💚 Struktura (Z\{0}, *) je podgrupou této struktury 
💚 Operace * je komutativní

### 32) Která z následujících tvrzení o formálních teoriích jsou správné:
💚 Axiomy konzistentní teorie musí být vzájemně bezesporné 
💚 Axiomy teorie jsou nezávislé, když žádný axiom není dokazatelný z jiných axiomu

### 33) Mezi syntaktické metody v PL 1:
💚 Formální systém Hilbertova typu. 
💚 Obecná rez. metoda, Robinson. 
(sémantické metody: vénovy diagramy)

### 34) Mezi syntaktické metody ve VL:
💚 Rezoluční metoda P,N, sémanticka tabla. 
💚 Ekv. upravy, přirozena. 
(sémantické metody: vénovy diagramy) 
(sémantické metody: spor, tabulka?)

### 35) Která z následujících formulí patří mezi logické zákony?
💚 ∀x∀y A(x,y) ≡ ∀y∀x A(x,y) 
💚 ∃x∀y A(x,y) se nerovná ∃y ∀x A(x,y) 
💚 ∀xA(x) ⊃ A(x/t) (term t je substituovatelný za proměnnou x) 
💚 A(x/t) ⊃ ∃xA(x) 
💚 |= ∀xA(x) ⊃ A(y) dictum de omni specielně 
💚 |= ∀xA(x) ⊃ A(x/t) pravidlo konkretizace 
💚 |= A(y) ⊃ ∃xA(x) 
💚 |= ¬∀xA(x) ≡ ∃x¬A(x) 
💚 |= ¬∃xA(x) ≡ ∀x¬A(x)

### 38) Zákony komutace kvantifikátorů:
💚 |= ∀x∀yA(x,y) ≡∀y∀xA(x,y) 
💚 |= ∃x∃yA(x,y) ≡∃y∃xA(x,y) 
💚 |= ∃x∀yA(x,y) ⊃∀y∃xA(x,y)

### 39) Mezi vlastnosti binární relace R na množině A patří:
💚 Reflexivita: ∀x R(x,x) 
💚 Symetrie: ∀x∀y R(x,y) ⊃ R(y,x) 
💚 Reflexivita: ∀x ¬R(x,x) 
💚 Asymetrie ∀x∀y R(x,y)⊃¬R(y,x)

### 40) Mezi vlastnosti binární relace R na množině A patří:
💚 ⊨ ∀x[B(x) ⊃ A] ≡ [∃xB(x) ⊃ A] 
💚 ⊨ ∀xA(x) ⊃ A(y) 
💚 ⊨ ∃x[A(x) ∨ B(x)] ≡ [∃xA(x) ∨ ∃xB(x)]

[Link / skok úplně nahoru](#předmluva)
 
[Link / skok rovnou k otázkám](#otázky-vysvětlení-k-individuálním-odpovědím-v-závorce-špatné-odpovědi-mohou-chybět-ale-nejdůležitější-jsou-stejně-odpovědi-správné-)

Logicky-magnum-opus-naucny

Logicky-magnum-opus-naucny 최신버젼 다운로드

오늘의 추천 프로젝트

Was this content helpful?

Recent Feedback

Logicky-magnum-opus-naucny

Logicky-magnum-opus-naucny 최신버젼 다운로드

오늘의 추천 프로젝트

Was this content helpful?

Recent Feedback

Download README